1. В предлагаемой Вашему вниманию книге изучаются квантовые аналоги ограниченных симметрических областей. Такие области привлекают неизменное внимание геометров, алгебраистов и аналитиков, поскольку служат источником точно решаемых задач комплексного анализа, некоммутативного гармонического анализа и классической математической физики.

    Простейшей ограниченной симметрической областью является единичный круг D = {z ∈ C | |z| < 1}. Его квантовый аналог введен Климеком и Лесневским [211]. Из методических соображений мы начинаем с главы 2 о квантовом круге, чтобы, не отвлекая читателя алгебраическими подробностями, дать общее представление об интересующих нас задачах некоммутативного комплексного анализа и некоммутативного гармонического анализа. Материал этой главы может стать основой семинара для студентов 3-4 курсов механико-математических факультетов университетов.

    Задачи, обсуждаемые в главе 2, можно поставить, а многие из них и решить, в существенно более общем контексте - в рамках квантовой теории ограниченных симметрических областей [311, 312], основы которой изложены в главе 3. Тем самым перебрасывается мост между теорией квантовых групп и некоммутативным комплексным анализом.

    Более полное представление о главах 2, 3 дает оглавление к книге.

    В следующих главах планировалось изложить результаты Берштейн, Ваксмана, Колесника, Проскурина, Синельщикова, Столина, Туровской, Цанга, Шклярова [114, 116, 115, 323, 284, 306, 22, 301, 331, 303, 309], а также неопубликованные результаты о квантовых ограниченных симметрических областях, некоторые из которых имеются в библиотеке xxx.lanl.gov или появятся там в недалеком будущем, см., например, [330].

    К сожалению, этот план не удается осуществить по причинам, не связанным с математикой. В сети будет размещена страница, посвященная квантовым ограниченным симметрическим областям, и на ней - черновик полного варианта несостоявшейся книги, примерно вдвое превышающий ее по объему и включающий обсуждение нерешенных задач.

    Автор глубоко признателен своим ученикам Берштейн, Колеснику, Корогодскому, Шклярову, соавторам Сойбельману, Столину и коллегам Келинку, Климыку, Колбу, Самойленко, Туровской, Шмюдгену, Цангу, Якобсену за многочисленные полезные обсуждения результатов книги.

    Особую роль в моей судьбе сыграл Владимир Дринфельд. В середине восьмидесятых годов он обучил меня основам теории квантовых групп и тем самым помог вернуться в математику после многолетнего вынужденного перерыва.

    2. Немного истории. В конце семидесятых годов изучение точно решаемых задач статистической механики и квантовой теории поля привело Фаддеева и его сотрудников к созданию квантового метода обратной задачи рассеяния [71, 74, 77]. Ими было введено квантовое уравнение Янга-Бакстера и показано, что его решениям отвечают серии точно решаемых задач математической физики. В работе [60] приводятся известные к восьмидесятому году решения этого уравнения и отмечается, что "вырисовываются его глубокие связи с такими разделами математики, как теория групп и алгебраическая геометрия". В начале восьмидесятых годов выявлению этих связей и изучению решений квантового уравнения Янга-Бакстера была посвящена обширная литература. Отметим работы Склянина, Кулиша, Дринфельда и Решетихина [72, 59, 42, 73, 238]. В 1984 году Дринфельд ввел квантовые аналоги универсальных обертывающих алгебр (см. пункт 3.1.1), и важным событием стал его доклад о квантовых группах на семинаре Гельфанда. В 1985 году к квантовым аналогам универсальных обертывающих алгебр пришел Джимбо. Большую роль в становлении теории квантовых групп сыграли статьи [43, 183] и обзоры [44, 184, 68].

    Другой подход к теории квантовых групп принадлежит Вороновичу [343, 344]. В дальнейшем его подход использовался в теории компактных квантовых групп [346, 140, 134], простейшей из которых является квантовая группа SU(2) [345, 278, 21, 259, 268, 269, 260, 227, 229, 52, 19, 117, 195, 196, 221, 226, 219, 217, 279, 281, 244, 92].

    В последующие годы были найдены приложения теории квантовых групп в малоразмерной топологии и в теории категорий , а также в конформной квантовой теории поля [67, 322, 202, 192, 254, 253, 94, 274]. Не касаясь этих и многих других приложений, ограничимся работами, посвященными квантовым аналогам однородных пространств некомпактных вещественных групп Ли.

    Первые результаты в этом направлении получены в конце восьмидесятых годов в заметке [20]. В этой работе введена квантовая группа движений евклидовой плоскости, что позволило решить ряд задач некоммутативного гармонического анализа и теории специальных функций [127, 348, 349, 130, 248, 230, 220, 218, 224, 225, 223, 318, 118, 93]. Квантовую группу движений плоскости можно получить из квантовой группы SU(2) с помощью контракции Иненю-Вигнера [26, стр. 234]; этот прием применим и к некоторым другим "неоднородным" квантовым группам [129, 128, 141].

    Другим методом, применимым к овеществленным комплексным полупростым группам Ли, Вороновичу и Подлещу удалось получить квантовый аналог группы Лоренца [282]. Их исследования были продолжены в работах [285, 280, 65, 271, 122, 121].

    Большие трудности ожидали на пути к квантовому аналогу группы движений плоскости Лобачевского (точнее, к квантовому аналогу некоторой локально изоморфной группы). Дело дошло до того, что в статье [347] Воронович отказал этой квантовой группе в праве на существование. Впрочем, позднее, по-видимому, познакомившись с работой Корогодского [236], он сменил точку зрения. Спустя еще несколько лет построение требуемой квантовой группы в рамках аксиоматики Кастерманса-Ваеса [239, 240] было завершено К_линком и Кастермансом [216].

    Приведенные выше ссылки на литературу не являются исчерпывающими, но дают общее представление о развитии теории некомпактных квантовых групп в первые годы ее существования.

    В работе [236] бросалось в глаза резкое несоответствие между простотой классического объекта исследования и сложностью его квантового аналога. Возник план отказаться от использования алгебр функций на квантовых группах при изучении алгебр функций на квантовых однородных пространствах. Основными методами исследования при таком подходе могли бы стать методы теории представлений вещественных редуктивных групп Ли [335, 336]. Введенная Хариш-Чандрой в [164] голоморфная дискретная серия представлений групп эрмитова типа реализуется во взвешенных пространствах Бергмана голоморфных функций в ограниченных симметрических областях [233], а соответствующие представления алгебр Ли - в алгебрах полиномов на предоднородных комплексных векторных пространствах коммутативного параболического типа (см. пункт 3.3.8).

    Естественно возник вопрос о том, имеются ли квантовые аналоги ограниченных симметрических областей, взвешенных пространств Бергмана, голоморфных дискретных серий и полиномов Сато-Бернштейна предоднородных векторных пространств коммутативного параболического типа (о полиномах Сато-Бернштейна см. [265, 292]).

    Положительный ответ на этот вопрос должен был привести к содержательным задачам о квантовых предоднородных векторных пространствах и о модулях Хариш-Чандры [294] над квантовыми универсальными обертывающими алгебрами. Это могло привести к прорыву в некоммутативном комплексном анализе  области исследований, восходящей к работе У. Арвесона [102]. Надежды оправдались.

    Во второй половине девяностых годов три группы математиков получили первые результаты квантовой теории ограниченных симметрических областей. Исследования проводились независимо, поскольку команды не знали друг о друге и считали используемые ими методы самодостаточными.

    Танисаки и его сотрудники в работах [199, 198, 264, 197] ввели в рассмотрение q-аналоги предоднородных векторных пространств коммутативного параболического типа и нашли явный вид их полиномов СатоБернштейна.

    Якобсен предложил более простой способ построения этих же квантовых векторных пространств и осознал, что идет по направлению к квантовым эрмитовым симметрическим пространствам некомпактного типа [179], [181].

    Авторы перечисленных работ упустили из виду так называемую скрытую симметрию рассматриваемых ими квантовых предоднородных векторных пространств [310, 304] и, по-видимому, вследствие этого, не сделали решающий шаг на пути к квантовым ограниченным симметрическим областям.

    Основы квантовой теории ограниченных симметрических областей заложены в статье [311]. Соответствие подходов работ [321, 179, 311] установлено Шкляровым [298].