ВОЛОДИМИР ОЛЕКСАНДРОВИЧ МАРЧЕНКО |
|
Видатні наукові досягнення Володимира Олександровича широко відомі у математичних колах всього світу. Він є академіком Національної академії наук України і Російської академії наук, почесним доктором Паризького університету, членом Норвезького королівського товариства наук і літератури. Протягом багатьох років В.О. Марченко читав лекції у Харківському університеті, приділяючи особливу увагу підготовці наукових кадрів. Серед його учнів кандидати і доктори наук, два академіка НАН України. Велику увагу він приділяє організації математичної науки в Харкові. Він неодноразово вибирався президентом Харківського математичного товариства. В.О. Марченко приймав активну участь у заснуванні Фізико-технічного інституту низьких температур і його Математичного відділення. Після закінчення університету в 1945 році В.О. Марченко вступає до аспірантури університету, яку закінчує достроково. Його науковим керівником був Н.С.Ландкоф. Перші роботи В.О. Марченка відносяться до майже періодичних функцій, узагальнених рядів Фур'є і теорії апроксимації. Відзначимо лише один з отриманих в цьому напрямку результатів. В.О. Марченко ввів таку топологію на дійсній осі, в якій кожна рівномірно неперервна функція виявляється майже періодичною функцією Г. Бора, а кожна просто неперервна функція - майже періодичною функцією Б.М. Левітана. Точки неперервності і точки Лєбега у введеній топології відіграють таку ж роль для узагальнених рядів Фур'є, як звичайні точки неперервності і точки Лєбега для звичайних рядів Фур'є. Кандидатську дисертацію "Методи підсумовування узагальнених рядів Фур'є" він захистив у 1948 році. Пізніше В.О. Марченко неодноразово повертався до тематики, пов'язаної з узагальненим гармонічним аналізом, теоремами тауберова типу та апроксимацією функцій, заданих на всій осі. Після захисту кандидатської дисертації В.О.Марченко зацікавився спектральної теорією диференціальних операторів. Його увагу привернули оператори перетворення, що переводять розв'язки одного диференціального рівняння Штурма-Ліувілля у розв'язки іншого. Роботи В.О. Марченка показали, що такі оператори є потужним апаратом дослідження багатьох питань спектральної теорії. Серед них в першу чергу слід назвати обернені задачі спектрального аналізу самоспряжених диференціальних операторів і асимптотичні формули для спектральної функції. Особливо цікавим і змістовним є випадок, коли розглядається самоспряжений оператор Штурма-Ліувілля на півосі, фіксований дійсним параметром в граничній умові. Тут В.О. Марченко отримує ряд фундаментальних результатів. Найбільш відомий з них - теорема єдиності, згідно з якою потенціал і параметр в граничній умові однозначно визначаються своєю спектральною функцією. Всі відомі теореми єдиності для оберненої задачі відновлення оператора Штурма-Ліувілля (теорема Г. Борга по двох спектрах, теорема Н. Левінсона про граничну фазу розсіювання та інші) містяться в цій теоремі. Ефективні методи відновлення диференціального оператора по його спектральної функції були запропоновані в роботах І.М. Гельфанда і Б.М. Левітана, В.О. Марченка і М.Г. Крейна. Значним внеском в спектральну теорію операторів стала отримана В.О. Марченком асимптотична формула для спектральної функції задачі Штурма-Ліувілля з довільним потенціалом. У 1951 р. він представляє до захисту докторську дисертацію "Деякі питання теорії одновимірних лінійних диференціальних операторів другого порядку". Питання спектрального аналізу диференціальних операторів і в наступні роки залишалися важливим об'єктом досліджень В.О. Марченка, де йому вдалося отримати цілий ряд красивих і несподіваних результатів. Зокрема, їм було запропоновано нову точка зору на теорію розкладання по власним функціям несамоспряжених диференціальних операторів другого порядку, ряд важливих асимптотичних формул і т.п. В середині 50-х років увагу В.О. Марченка привернули обернені задачі іншого класу, а саме обернені задачі теорії розсіяння, зобов'язані своїм походженням теоретичній фізиці. У квантовій механіці основна експериментальна інформація про розсіяння часток потенційним полем витягується з асимптотик хвильових функцій на нескінченності. Тому природно виникає задача про відновлення потенціалу поля по асимптотиці хвильових функцій, тобто за даними розсіяння. Цією проблемою в різний час займалися багато фізиків-теоретиків і математиків (В. Баргман, Н. Левінсон, Р. Йост, В. Кон та ін.) У разі центрально-симетричного поля задача зводиться до відновлення потенціалу оператора Шредінгера на півосі за відомими даними розсіяння. В.О. Марченко довів, що дані розсіяння однозначно визначають потенціал і, головне, запропонував процедуру його відновлення, в основі якої лежить лінійне інтегральне рівняння, що носить нині його ім'я. Грунтуючись на цій процедурі, він провів вичерпне дослідження розв'язності оберненої задачі, отримав необхідні і достатні умови на дані розсіяння, які забезпечують приналежність потенціалу даному класу. За ці дослідження в 1962 р. В.О. Марченку, спільно з Б.М. Левітаном, було присуджено Ленінську премію. Згодом він вивчив проблеми стійкості обернених задач теорії розсіяння і спектрального аналізу. Ці та інші обернені задачі спектральної теорії викладені В.О. Марченком в його монографіях, опублікованих в Україні та за кордоном і які користуються широкою популярністю. У 1960 р. був створений Фізико-технічний інститут низьких температур (ФТІНТ АН УРСР). Ініціатором створення інституту був Б.І. Вєркін, який і став його першим директором. Б.І.Вєркін запропонував В.О.Марченку очолити відділ математичної фізики. З цього моменту починається новий етап в житті і науковій діяльності В.О. Марченка. Він бере активну участь в організації роботи математичних відділів та встановлення творчих зв'язків з фізиками та інженерами інституту. Перед відділами ставилося подвійна мета: математики повинні були, з одного боку, брати участь у наукових програмах інституту і в ідеалі стати однією з ланок у творчому ланцюжку: фізики - математики - конструктори - виробництво, а з іншого - проводити дослідження з широкого кола фундаментальних проблем математики, продовжуючи і розвиваючи тим самим традиції Харківської математичної школи. Наукова атмосфера інституту характеризувалася рівноправними і дружніми відносинами між представниками різних областей науки і техніки. Величезна заслуга в цьому, безумовно, належала його директору Б.І. Вєркіну і провідним вченим інституту, в тому числі В.О. Марченку. У цей період виникають нові теми в науковій творчості В.О. Марченка. Його зацікавила теорія дифракції електромагнітних хвиль на періодичних структурах. Ним було запропоновано ефективний метод розв'язання основних задач цієї теорії. Значення і перспективність методу полягали в його застосовності в усьому інтервалі довжин падаючих хвиль. Ці роботи відіграли важливу роль у розвитку теоретичних і прикладних досліджень в Інституті радіоелектроніки АН України під керівництвом академіка АН України В.П. Шестопалова. Аналіз задач теорії дифракції привів В.О. Марченка до постановки нового класу задач математичної фізики - крайових задач в областях з дрібнозернистою межею. Задачі такого типу виникають також в теорії пружності, акустиці, гідродинаміці суспензій. Метод розв'язання таких задач, запропонований В.О. Марченком, полягав у вивченні асимптотичної поведінки їх розв'язків при подрібненні межі області і виведення усереднених рівнянь, розв'язки яких описують перший член асимптотики. Згодом в західній літературі цей метод став називатися методом усереднення диференціальних операторів. Перший етап розвитку цього нового напряму в теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних був підсумований у монографії (написаної спільно з Є.Я. Хрусловим), яка є однією з перших книг, що відносяться до теорії усереднення. Вона істотно вплинула на подальший розвиток цього напрямку. Результати останніх років викладені в монографіях В.О. Марченка і Є.Я. Хруслова 2006 и 2011 років. У 60-і роки В.О. Марченко з великим інтересом обговорює питання спектральної теорії операторів з випадковими коефіцієнтами з видатним фізиком-теоретиком І.М. Ліфшицем. Це стало поштовхом до створення В.О. Марченком спільно з Л.А. Пастуром нового напряму математичної фізики - спектральної теорії випадкових матриць і випадкових операторів, яке зараз інтенсивно розвивається. В їх піонерських роботах, завдяки плідному об'єднанню ідей теорії ймовірностей та спектральної теорії операторів, були отримані чудові результати, які інтенсивно використовуються та цитуються і в теперішній час. В кінці 60-х років В.О. Марченко повертається до теорії обернених задач для диференціальних рівнянь. У математичній постановці оберненої задачі теорії розсіяння припускається, що фаза розсіяння відома у всьому інтервалі енергій, тоді як при фізично коректній постановці оберненої задачі фаза розсіяння може задаватися лише в скінченному інтервалі енергій. В.О. Марченко отримав точні оцінки похибки відновлення потенціалу і власних функцій оператора Штурма-Ліувілля на півосі залежно від довжини інтервалу, на якому відома функція розсіяння. У роботах з Д.Ш. Лундіною і К.В. Масловим цей результат був поширений на обернені задачі спектрального аналізу. Обернені задачі теорії розсіяння і спектрального аналізу відіграли на початку 70-х років важливу роль у розвитку нового напряму в теорії рівнянь з частинними похідними - теорії цілком інтегровних нелінійних рівнянь, або теорії солітонів. Новий метод, будучи узагальненням методу Фур'є на нелінійні рівняння, виявився тісно пов'язаним не тільки з теорією розсіяння і спектральною теорією операторів, а й з іншими областями математики, такими як алгебраїчна геометрія і абелєві функції, алгебри Лі і симплектична геометрія. Будучи тісно пов'язаною зі спектральною теорією, ця нова область природно викликала великий інтерес В.О. Марченка. І в цій новій для себе області він запропонував оригінальні і перспективні ідеї та підходи. Він запропоновував метод розв'язання періодичної задачі Коші для рівняння Кортевега-де Фріза, що базується на процедурі поліноміальних апроксимацій матриці монодромії рівнянь Лакса, які призводять до сумісних автономних систем звичайних диференціальних рівнянь, і наступного граничного переходу. Цей метод знайшов застосування і подальший розвиток в роботах його учнів В.А. Козела, В.П. Котлярова, А.Є. Боровіка. Дослідження періодичної задачі привели до необхідності по новому переосмислити обернені задачі спектрального аналізу для оператора Шредінгера з періодичним потенціалом (оператора Хілла), що і було зроблено в спільних з І.В. Островським роботах. В них отримана ефективна і природна параметризація спектральних даних і доведена теорема про апроксимації довільного періодичного потенціалу скінченнозонними. Спектральна теорія оператора Шредінгера і її застосування до інтегрування нелінійних еволюційних рівнянь склали зміст монографії В.О.Марченка "Оператори Штурма-Ліувілля та їх застосування". Нещодавно ця монографія була перероблена, доповнена автором главою по стійкості розв'язків обернених задач і видана Американським математичним товариством. У 80-ті роки В.О.Марченко запропонував новий метод побудови розв'язків нелінійних рівнянь, заснований на красивих операторно-алгебраїчних ідеях і глибокому аналітичному апараті. В основу методу була покладена заміна даного рівняння на рівняння того ж виду щодо функцій, які приймають значення в довільній операторної алгебрі. Розв'язки вихідного рівняння породжуються односолітонними операторними розв'язками шляхом спряження їх спеціальними скінченновимірними проекторами. Довільний вибір операторної алгебри і проекторів дозволяє знаходити широкі класи розв'язків цілком інтегровних нелінійних рівнянь. Відповідні результати становлять зміст монографії В.О. Марченка "Нелінійні рівняння і операторні алгебри" (К.: "Наукова думка", 1986 р. і Dordrecht: "D.Reidel", 1987). Ці дослідження, що представляють великий інтерес для теорії нелінійних рівнянь, мають також глибокий спектральний зміст. У них пропонуються нові підходи до конструктивного розв'язання обернених задач спектрального аналізу для диференціальних операторів з неспадними коефіцієнтами - найменш вивченого класу обернених задач. Подальший розвиток цих ідей привело В.О. Марченка до створення в 90-ті роки теорії неспадних розв'язків цілком інтегровних рівнянь. Так, в роботах ним була знайдена характеризація розв'язків Вейля для операторів Шредінгера і Дірака з неспадними потенціалами, він надав конструктивне доведення можливості розв'язання задач Коші для рівняння Кортевега-де Фріза і нелінійного рівняння Шредінгера з неспадними початковими даними та узагальнення перетворення Дарбу, що дозволяє будувати широкі класи розв'язків нелінійних еволюційних рівнянь, залежних від скінченного числа функціональних параметрів. У першому десятилітті нового століття В.О. Марченко продовжує успішну наукову роботу. Він отримав ряд нових результатів, що відносяться до методу оберненої задачі теорії розсіяння для розв'язання нелінійних еволюційних рівнянь, по-новому переглядає теорію обернених задач спектрального аналізу для матриць Якобі і видає монографію "Введення в теорію обернених задач спектрального аналізу". Методи, розвинені в цій монографії, дозволили В.О. Марченку спільно з Ю.І. Любарським сформулювати і розв'язати обернені задачі багатоканального розсіяння і теорії малих коливань системи взаємодіючих частинок. Протягом багатьох років В.О.Марченко керував міським семінаром з математичної фізики, що працював щотижнево в Харківському університеті. Семінар мав великий вплив на розвиток математичних досліджень не тільки в Харкові, а й у всій країні. Наукові та громадські заслуги В.О.Марченка отримали широке визнання. Він - лауреат Ленінської премії (1962), Державної премії України в галузі науки і техніки (1989), премій ім. М.М.Крилова (1983), ім. М.М.Боголюбова (1996) і їм. М.О.Лаврентьєва (2007) НАН України; нагороджений двома орденами Трудового червоного прапора (1967, 1982), орденами Ярослава Мудрого V (2002) і IV (2007) ступенів; в 1961 році був обраний членом-кореспондентом, а в 1969 - академіком Академії наук України; в 1987 р. стає дійсним членом Академії наук СРСР. Визнанням його наукових досягнень є присудження йому звання Почесного доктора Паризького університету (1997 р.) і Харківського національного університету (2002), обрання членом Норвезького королівського товариства наук і літератури (2001) та нагородження Золотою медаллю імені В.І.Вернадського НАН Україна (2010). У 2007 році В.О.Марченко був удостоєний звання "Почесного громадянина Харківської області". Широта наукових інтересів і ерудиція, відданість науці і висока вимогливість до себе, постійна увага до учнів і колег, доброзичливість і готовність надати допомогу добре відомі всім, кому доводилося зустрічатися і працювати з Володимиром Олександровичем. Ми бажаємо Володимиру Олександровичу міцного здоров'я, доброго настрою і нових творчих досягнень. |
7 липня 2012 р. виповнюється 90 років від дня народження академіка НАН України та РАН В.О. Марченка. Володимир Олександрович Марченко - видатний математик, автор більш ніж 130 наукових публікацій, в тому числі 12 монографій. В.О. Марченко належать фундаментальні результати у наступних областях математики: гармонічному аналізі і теорії майже періодичних функцій; спектральній теорії диференціальних та різницевих операторів; теорії обернених задач спектрального аналізу і теорії розсіяння; спектральній теорії випадкових матриць великої розмірності; теорії дифракції електромагнітних хвиль на періодичних структурах; теорії усереднення крайових задач математичної фізики у областях складної мікроструктури; теорії цілком інтегровних нелінійних еволюційних рівнянь.